INTRODUCCIÓN
Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple alfiler hasta la más compleja maquinaria, planta industrial, obra civil, etc, son concebidos inicialmente en forma mental, y antes de su fabricación deben ser descritos con toda precisión para resolver con exactitud cualquier problema relacionado con su forma, tamaño y funcionalidad. En respuesta a esta necesidad surge la Geometría Descriptiva, la cual se encarga de definir correctamente las técnicas de la representación plana (proyección) de los objetos tridimensionales antes ó después de su existencia real.
De manera que estudiar Geometría Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea, es describir la forma de: tornillos, resortes, engranajes; relojes; sillas; mesas; televisores; carros; casas; urbanizaciones, carreteras, represas, planetas, galaxias, en fin, todos los objetos físicos que nos rodean pueden ser concebidos por el hombre mediante representaciones planas de los mismos, y es la Geometría Descriptiva la que define las reglas que rigen la elaboración de estas proyecciones.
Breve Reseña Histórica
Aunque los hombres no han podido ponerse de acuerdo para llegar a un lenguaje mundial de palabras y frases, ha existido un lenguaje realmente universal desde los tiempos mas remotos: el lenguaje gráfico. La idea de comunicar los pensamientos de una persona a otra por medio de figuras existió desde la antiguedad. Esto se evidencia en las figuras sobre pieles, piedras, paredes de cavernas, etc. hechas por los hombres primitivos para registrar sus ideas.
En cuanto a la escritura, los registros mas antiguos son figuras como lo prueban los jeroglíficos egipcios. Mas adelante, estas figuras fueron simplificadas y transformadas en los símbolos abstractos que dieron origen a la escritura actual, la cual tiene por lo tanto su fundamento en el dibujo.
A manera de ejemplo se muestra en la figura como a partir de los jeroglíficos egipcios: Aleph (buey) y Nahas (serpiente), pueden haber evolucionado los caracteres latinos (A y N) respectivamente.
El dibujo técnico mas antiguo que se conoce es un grabado realizado sobre una loseta de piedra que representa el diseño en planta de una fortaleza, realizado alrededor del año 4000 a.C. por el Ingeniero caldeo Gudea.
En el año 30 a.C., el Arquitecto romano Vitruvius escribió un tratado sobre Arquitectura.
Se atribuye, a principios de siglo quince, a los Arquitectos italianos Alberti, Brunelleschi y otros el desarrollo de la teoría de las proyecciones de objetos sobre planos imaginarios de proyección (proyección en vistas).
Remontándonos a tiempos mas recientes Leonardo da Vinci usaba dibujos para transmitir a los demás sus ideas y diseños de construcciones mecánicas y aunque no está muy claro que haya hecho dibujos en los que aparecieran vistas ortográficas es muy probable que los hubiera hecho. De hecho, el tratado de Leonardo da Vinci sobre pintura, publicado en 1651, se considera como el primer libro impreso sobre la teoría de dibujo de proyecciones; pero esta enfocado a la perspectiva, no a la proyección ortográfica.
En cuanto a la geometría (parte de la matemática que se ocupa de las propiedades, medidas y relaciones entre puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos), tuvo su origen en Egipto hacia el año 1700 a.C., y su desarrollo se debió a la necesidad práctica de la medición de terrenos. Hacia el año 600 a.C. Tales de Mileto la introdujo en Grecia y fundó la escuela jónica. Su discípulo Pitágoras fundó la escuela pitagórica que dio gran avance a la geometría demostrando, entre otros su famoso teorema para los triángulos rectángulos (a2+b2=h2). Otros personajes destacados en este campo fueron: Zenón, Hippias, Platón, Hipócrates, Eudoxio, Arquímides, etc.
Posteriormente, en el siglo tres a.C., Euclides, en su obra "Elementos", culmina una prolongada evolución de las ideas y establece de forma sistemática los fundamentos de la geometría elemental. Durante la edad media se observó poco avance en el campo de la geometría, contrariamente al desarrollo extraordinario que se observó en la edad moderna, en la cual Desargues estableció los fundamentos de la geometría proyectiva y Monge los de la geometría descriptiva, la cual es la gramática del lenguaje gráfico.
Con respecto a la geometría descriptiva sus comienzos están asociados en los problemas que se encontraron en el diseño de edificios y fortificaciones militares en Francia en el siglo dieciocho. Se considera a Gaspar Monge (1746-1818), ya citado, como el "inventor" de la geometría descriptiva, aunque precedieron a sus esfuerzos varias publicaciones sobre estereotomía (arte y técnica de tallar la madera o piedra con fines constructivos), arquitectura, y perspectiva donde ya se aplicaban muchos de los conceptos de la geometría descriptiva. Fue a finales del siglo dieciocho cuando Monge, siendo profesor de la Escuela Tecnológica de Francia, desarrolló los principios de la proyección que constituyen la base del dibujo técnico de hoy en día. Pronto se reconoció que estos principios de la geometría descriptiva tenían gran importancia militar y se obligó a Monge a mantenerlos en secreto hasta 1795, año a partir del cual se convirtieron en parte importante de la educación técnica en Francia y Alemania. Posteriormente en los Estados Unidos. Su libro La Géométrie Descriptive, se considera aun como el primer texto para exponer los principios básicos del dibujo de proyectistas.
Los principios de Monge llegaron a los Estados Unidos en 1816 y los trajo el Sr. Claude Crozet, profesor de la Academia Militar de West Point. El profesor Crozet publico en 1821 el primer texto en inglés sobre geometría descriptiva. En los años siguientes se convirtieron estos principios en parte regular del plan de estudios de los primeros años de ingeniería en el Instituto Politécnico Rensselaer, en la Universidad de Harvard, en la Universidad de Yale, y en otras, convirtiéndose de esta forma hoy en día la geometría descriptiva en materia de estudio en los primeros años de las carreras de Ingeniería y Arquitectura en la gran mayoría de las universidades del mundo.
capítulo 1 CONCEPTOS BÁSICOS
Cualquier objeto puede sintetizarse mediante sus elementos geométricos mas simples: puntos, líneas, superficies, ángulos, etc. Es por lo tanto necesario que el estudiante de Geometría Descriptiva domine y exprese estos conceptos en forma correcta, razón por la cual se inicia la presente obra con este tema, en el cual se describen en forma simple los conceptos geométricos básicos de mayor uso en el estudio de la Geometría Descriptiva.
Además, pensando en la ejercitación práctica del estudiante en la resolución de problemas de Geometría Descriptiva, se incluyen en este punto las nociones básicas de trazado y manejo de escuadras y compás, finalizando con una breve descripción del concepto de escala.
Se supone que todo el contenido antes descrito es del conocimiento previo del estudiante de Geometría Descriptiva, razón por la cual se presenta este capítulo en forma concisa y con carácter principalmente informativo.
Punto
Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.
algunas formas de representar un punto
Línea
Es una sucesión infinita de puntos.
Las líneas se clasifican basicamente en:
tipos de línea
Recta
Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia.
- semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos,
- segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos.
partes de una recta
Según la posición relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como:
- rectas que se cortan: si tienen un punto en común. En este caso están contenidas en un plano,
- rectas paralelas: si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso están contenidas en un plano,
- rectas que se cruzan: si no se cortan ni son paralelas. En este caso no están contenidas en un plano
posición relativa entre dos rectas
Poligonal
Línea formada por segmento rectos consecutivos no alineados. Se clasifican en:
- poligonal abierta: si el primer y último segmentos no están unidos,
- poligonal cerrada: si cada segmento esta unido a otros dos.
poligonal
Curva
Linea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. Las curvas se clasifican en:
Curva que se genera al seccionar un cono recto de revolución con un plano. La cónicas son cuatro y su formación depende de la relación entre los ángulos (a0: ángulo que forma el plano seccionante (a) con el plano base del cono) y (b0: ángulo que forman las generatrices del cono con el plano base del mismo) como se describe a continuación:
- circunferencia: se forma cuando el plano seccionante (a) es paralelo al plano base del cono, por lo tanto a0=00,
- elipse: se forma cuando a0<b0,
- parábola: se forma cuando a0=b0,
- hipérbola: se forma cuando a0>b0,
cónica
El estudio de las cónicas es de gran importancia en los campos de la óptica, astronomía, física, biología, informática e ingeniería, entre otras, ya que son la base del diseño de lentes, espejos, y superficies elípticas, circulares parabólicas e hiperbólicas; componentes esenciales de: microscopios, telescopios, radares, antenas parabólicas, teodolitos, distanciómetros y muchos otros instrumentos de gran uso en estas ciencias.
SISTEMAS DE PR0YECCIÓN
En este capítulo se hace una breve descripción de los sistemas de proyección mas utilizados en Ingeniería y Arquitectura, describiendo el fundamento básico de la ejecución de proyecciones en estos sistemas.
El objetivo principal del capítulo es que el estudiante conozca estos sistemas de proyección, y sepa identificar cuando un objeto esta representado en cada uno de ellos. Al igual que el capítulo anterior, el carácter del presente capitulo es básicamente informativo por lo tanto se presentan las características mas esenciales de estos sistemas de proyección sin entrar en descripciones profundas de sus métodos de trabajo.
SISTEMA DE PROYECCIÓN
Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie. Como puede observarse en la fig.1, en todo sistema de proyección intervienen cuatro elementos, denominados:
a) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano, superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico ú objeto en s.
b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio.
c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto. Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica, cilíndrica, cónica, etc.
d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto de observación.
fig.1.\ Sistema de proyección
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fig.2.\ Proyección cilíndrica
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1) Proyección ortogonal. También denominada proyección ortográfica. Se obtiene cuando las proyectantes son perpendiculares al plano de proyección. La proyección ortogonal es muy utilizada en el diseño de piezas mecánicas y maquinarias\ fig.2a.
Los principales tipos de proyección ortogonal son:
i) Proyección en vistas múltiples. Cada vista es una proyección ortográfica. Para obtener una vista se coloca el plano de proyección preferentemente paralelo a una de las caras principales del objeto\ fig.3.
fig.3.\ Vista ortográfica
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Los objetos se representan generalmente en tres vistas ortográficas. Los métodos utilizados para determinar estas vistas son:
A) Proyección en el séptimo triedro (séptimo octante). Usado en los Estados Unidos y Canadá.\ fig.4.
fig.4.\ Proyección en vistas múltiples en el séptimo triedro
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B) Proyección en el primer triedro (primer octante). Usado en todo el mundo, excepto en los Estados Unidos y Canadá.\ fig.5.
fig.5.\ Proyección en vistas múltiples en el primer triedro
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ii) Proyección acotada. Es una proyección ortogonal sobre la que se acotan en cada punto, línea, u objeto representado la altura (cota) del mismo con respecto a cualquier plano de referencia que sea paralelo al plano de proyección\ fig.6. La proyección acotada es muy práctica cuando es necesario representar gráficamente objetos irregulares; razón por la cual se usa frecuentemente para el diseño de techos de viviendas; construcción de puentes, represas, acueductos, gasoductos, carreteras, determinación de áreas de parcelas, trazado de linderos, y dibujos topográficos de plantas y perfiles de terrenos, entre otros.
fig.6.\ Proyección acotada
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iii) Proyección axonométrica. Se obtiene cuando el plano de proyección no es paralelo a ninguno de los tres ejes principales del objeto\ fig.7.
fig.7.\ Proyección axonométrica
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La proyección axonométrica, dependiendo de los ángulos que forman entre sí los ejes axonométricos (proyecciones de los ejes principales del objeto), se denomina:
A) Proyección isométrica. Se obtiene cuando los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son iguales. Al representar objetos en proyección isométrica se mide en una misma escala sobre los tres ejes isométricos.\ fig.8
fig.8.\ Proyección isométrica
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B) Proyección dimétrica. Se obtiene cuando solo dos de los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son iguales. Al representar un objeto en proyección dimétrica debe medirse en dos de los ejes axonométricos con una misma escala y con una escala diferente en el tercer eje axonométrico. La forma gráfica de determinar la relación entre las escalas sobre los tres ejes axonométricos para cualquier distribución de los mismos, se muestra en la fig.10. No obstante, en la fig.9, se muestran tres distribuciones muy usadas de ejes dimétricos con sus respectivas escalas, estas proporciones difieren muy poco de los valores teóricos reales, los cuales de ser usados difucultarián grandemente la ejecución de la dimetría.
fig.9.\ Proyecciones dimétricas
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C) Proyección trimétrica. Se obtiene cuando los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son diferentes. En la proyección trimétrica cada eje axonométrico posee su propia escala diferente a la de los otros dos.\ fig.10
fig.10.\ Proyección trimétrica
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2) Proyección oblicua. Se obtiene cuando las proyectantes no son perpendiculares al plano de proyección (fig.2b). Preferentemente al dibujar en proyección oblicua se coloca el plano de proyección paralelo a una de las caras principales del objeto; ya que de esta forma dicha cara se proyectará en verdadero tamaño\ fig.11.
fig.11.\ Proyección oblicua
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Al definir una proyección oblicua el eje recedente (eje de profundidad del objeto) se puede proyectar formando cualquier ángulo (ao) con respecto a los otros dos; e independientemente de este ángulo (ao), la profundidad del objeto se puede proyectar también en cualquier longitud (teóricamente hasta una longitud infinita). Por lo tanto, al dibujar en proyección oblicua, se traza el eje recedente a cualquier ángulo, y se miden las profundidades sobre el en cualquier escala\ fig.12.
fig.12.\ Proyección oblicua
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Sin embargo, la escala a utilizar para el eje recedente debe elegirse en forma intuitiva, en función del ángulo en que se dibuje, de modo que la representación del objeto muestre una apreciación real de su forma y proporciones. Entre las proyecciones oblicuas mas utilizadas se pueden mencionar:
fig.13.\ Proyección caballera
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ii) Proyección de gabinete\ Recibe este nombre debido a que se usó grandemente en la industria del mueble.\ fig.14
fig.14.\ Proyección de gabinete
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iii) Proyección oblicua aérea. Es una proyección oblicua realizada sobre un dibujo en planta de una edificación, urbanismo, etc. con la finalidad de apreciar su forma tridimensional\ fig.15.
fig.15.\ Proyección oblicua aérea
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fig.1.\ Representación de un prisma
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Como sucede en este ejemplo, existen siempre dos alternativas lógicas de visibilidad en la representación de cualquier poliedro (en general en la representación de cualquier sólido), pero solo una de ellas es correcta; es el análisis de su visibilidad lo permite definir cual de las dos es la correcta.
DETERMINACIÓN DE LA VISIBILIDAD EN LAS PROYECCIONES DE LOS POLIEDROS
Se puede definir la visibilidad correcta en la representación de un poliedro, por medio de la observación de las tres características siguientes, las cuales pueden observarse en la fig.1b y fig.1c:
I) Todo el contorno externo de un poliedro es visible.
II) Si dos aristas que se cruzan poseen proyectivamente un punto en común, entonces una es visible y la otra nó. Ejemplo: aristas (D-D1) y (A1-B1) y aristas (B-B1) y (C-D).
III) Al considerar cualquier vértice, dentro del contorno del poliedro, todas las aristas que concurren a el tienen la misma visibilidad; siendo todas visibles ó todas invisibles.
Solución:
a) Como se observa en la fig.2a inicialmente se representan las proyecciones del prisma dibujando todas sus aristas con líneas de procedimiento; es decir trazado tenue continuo.
b) De acuerdo con la característica I) se dibuja, con líneas de contorno visible (trazado continuo fuerte), todo el contorno externo del prisma en ambas proyecciones\ fig.2b.
fig.2.\ Definición de la visibilidad de un poliedro
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c) Para definir la visibilidad en la proyección vertical del prisma\ fig.2c:
1) De acuerdo con la característica II), se determina, cual de la aristas que se cruzan (A1-B1) y (D-D1) es visible en proyección vertical. Para ello, se traza el segmento de punta (1-2) que se corta con ambas y se representa como arista visible, en proyección vertical, aquella que contenga el punto de mayor vuelo del mismo; resultando ser la arista (A1-B1) que contiene al punto (2), en consecuencia la proyección vertical (Dv-D1v) de la arista (D-D1) es invisible al observador.
2) De acuerdo con la característica III) todas las aristas que concurren al vértice (B1v) son visibles al observador y todas las que concurren al vértice (Dv) invisibles.
d) Para definir la visibilidad en la proyección horizontal del prisma\ fig.2d:
1) De acuerdo con la característica II), se determina, cual de la aristas que se cruzan (A-A1) y (B-C) es visible en proyección horizontal. Para ello, se traza el segmento vertical (3-4) que se corta con ambas, y se representa como arista visible, en proyección horizontal, aquella que contenga el punto de mayor cota del mismo; resultando ser la arista (A-A1) que contiene al punto (4), en consecuencia la proyección vertical (Bh-Ch) de la arista (B-C) es invisible al observador.
2) De acuerdo con la característica III) todas las aristas que concurren al vértice (A1h) son visibles al observador y todas las que concurren al vértice (Ch) invisibles.
No siempre es necesario trazar rectas de punta y/o verticales para poder definir la visibilidad de los poliedros en doble proyección ortogonal como lo muestran los ejemplos siguientes:
a) Analisis de la visibilidad del tetraedro de la fig.3a:
1) Visibilidad de la proyección vertical:
El vértice (D) es invisible al observador; debido a que se encuentra dentro del contorno del tetraedro, y es el vértice de menor vuelo del mismo. Por lo tanto todas las aristas que concurren a el son invisibles al observador.
2) Visibilidad de la proyección horizontal :
El vértice (B) es visible al observador; debido a que se encuentra dentro del contorno del mismo, y es el vértice de mayor cota del tetraedro. Por lo tanto todas las aristas que concurren a el son visibles al observador.
b) Analisis de la visibilidad del tetraedro de la fig.3b:
1) Visibilidad de la proyección vertical:
La visibilidad de las aristas que se cruzan (A-B) y (C-D) es obvia; siendo visible la arista (C-D) por tener mayor vuelo que la arista (A-B), siendo en consecuencia invisible esta última.
2) Visibilidad de la proyección horizontal :
La visibilidad de las aristas que se cruzan (A-D) y (B-C) también es obvia; siendo visible la arista (A-D) por tener mayor cota que la arista (B-C), siendo en consecuencia invisible esta última.
c) Analisis de la visibilidad de la pirámide de la fig.3c:
1) Visibilidad de la proyección vertical:
El vértice (D) es invisible al observador; por encontrarse dentro del contorno externo de la pirámide y ser su vértice de menor vuelo. Por lo tanto todas las aristas que concurren a el son invisibles.
La arista (V-B) es visible al observador; debido a que se cruza con la arista (A-D) que es invisible.
2) Visibilidad de la proyección horizontal :
La arista (A-B) es invisible al observador; por encontrarse dentro del contorno de la pirámide y ser la arista de menor cota de la misma. Por lo tanto las aristas (V-D) Y (V-C), que se cruzan con la arista (A-B), son visibles al observador.
fig.3.\ Visibilidad en poliedros\ ejemplos
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